Rachunek różniczkowy i całkowy

Autor:

Franciszek Leja

OPIS:

Książka w bardzo dobrym stanie, lekko pożółkłe strony, obwoluta podniszczona (widoczne na zdjęciu)

Wydanie 13

Książka zawiera pełny wykład rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych oraz wprowadzenie do teorii równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Książka obejmuje materiał wykładany na wydziałach matematycznych i fizycznych uniwersytetów i wyższych szkół pedagogicznych i jest przeznaczona głównie dła studentów tych wydziałów. Przystępność wykładu czyni ten podręcznik interesującą lekturą również dla studentów wyższych szkół technicznych.

Bogaty materiał teoretyczny jest w książce ilustrowany bardzo dużą ilością przykładów oraz ćwiczeń z odpowiednimi wskazówkami i odpowiedziami.

Książka jest w Polsce dobrze znana. O dużym jej powodzeniu może świadczyć fakt, że niniejsze wydanie jest dwunastym z kolei. Książka w każdym nowym wydaniu była przez autora udoskonalana. Również w wydaniu niniejszym wprowadzono wiele istotnych zmian i poprawek, mających na celu unowocześnienie wykładu, terminologii, przystosowanie treści do nowych wymagań uczelni i uwzględnienie nowych potrzeb wynikłych ze zmian programów zarówno na uczelniach wyższych, jak i w szkołach średnich.

SPIS RZECZY

Ustępy opatrzone gwiazdką można przy pierwszym czytaniu pomioąć

Z przedmowy do wydania I

Przedmowa do wydania II.

Przedmowa do wydania HI

Przedmowa do wydania V

Przedmowa do wydania VI

Przedmowa do wydania X

Przedmowa do wydania XII.

Część pierwsza RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Rozdział I. Liczby, ubiory i funkcje

1. Wstęp.

2. Liczby wymierne

3. Zbiory liczb

4. Przekrój Dedekinda zbioru liczb wymiernych

5. Liczby rzeczywiste

0. Liczby — a i a\

7. Uporządkowanie liczb rzeczywistych

8. Cztery działania na liczbach rzeczywistych

9. Potęga i logarytm

10. Wzór dwumienny Newtona

11. Nierówności

12. Liczby rzeczywiste i punkty prostej

13. Przekroje zbioru liczb rzeczywistych

14. Kresy zbioru liczb

15. Zbiory dowolne. Działania na zbiorach.

16l. Iloczyn kartezjański zbiorów

17. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

18. Funkcje, czyli odwzorowania zbiorów.

19. Funkcja złożona i odwrotna.

20. Funkcje liczbowe jednej zmiennej

21. Funkcje monotoniezne

22. Funkcje parzyste, nieparzyste, symetryczne i okresowe

23. Skale funkcyjne.

24. Funkcje elementarne

25. Rozkład wielomianu na czynniki.

26. Funkcje ograniczone. Wahanie funkcji

27. Ciąg liczbowy nieskończony

28. Ciągi monotoniczne i ograniczone

29. Prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Ćwiczenia do rozdziału I

Rozdział II. Przestrzenie, granice i ciągłość funkcji

1. Przestrzeń metryczna. Punkt skupienia zbioru

2. Przestrzenie euklidesowe

3. Zbiory i przestrzenie liniowe

4. Granica ciągu liczbowego

5. Twierdzenia i uwagi ogólne

6. Pewne kryteria zbieżności ciągów liczbowych

7. Cztery działania na ciągach liozbowych.

8. Ciąg częściowy. Punkt skupienia ciągu

9. Ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne.

10. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

11. Ciąg punktów przestrzeni metrycznej. Przestreń zwarta

12. Ciągi Cauchy'ego. Przestrzeń zupełna

13. Granica funkcji w punkcie.

14. Granice jednostronne.

15. Cztery działania na funkcjach liczbowych

16. Granice niewłaściwe

17. Granica funkcji w nieskończoności.

18. Wyznaczenie granic trzech ciągów

19. Liczba e.

20. Wyznaczenie granic dwóch funkcji.

21. Funkcje ciągłe

22. Ciągłość funkcji elementarnych.

23. Zbiory punktów liniowej przestrzeni metrycznej

24. Podstawowe własności funkcji liczbowych ciągłych

25. Ciągłość jednostajna funkcji w zbiorze

26. Funkcje liczbowe półciągłe i nieciągłe

27. Odwzorowania jednokrotne. Homeomorfizm.

28. Funkcje cyklometryczne

29. Ciągłość funkcji złożonej

30. Logarytm naturalny

Ćwiczenia do rozdziału II.

Rozdział III. Pochodne funkcji jednej zmiennej

1. Iloraz różnicowy i pochodna

2. Interpretacje pochodnej

3. Pochodne funkcji elementarnych

4. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu.

5. Pochodna funkcji odwrotnej

6. Pochodne funkcji cyklometrycznych

7. Pochodna funkcji złożonej

8. Pochodna logarytmiczna

9. Funkcje hiperboliczne.

10. Różniczkowanie graficzne

11. Funkcje odwzorujące przedział w przestrzeń Bk

12. Pochodne wyższych rzędów

13. Granice ekstremalne ciągu

14. Granice i pochodne ekstremalne funkcji

15. Twierdzenie o wartości średniej

16. Wnioski z twierdzenia o wartości średniej.

17. Wzór Taylora

18. Wzór Maclaurina

19. Przykłady i zastosowania

20. Maksima i minima.

21. Inne warunki wystarczające dla ekstremów

22. Wypukłość. Punkt przegięcia

23. Badanie funkcji określonej wzorem

24. Symhole nieoznaczone typu ^ i ^

25. Symbole 0-oo, oo — co i inne

26. Reszta Peana

27. Porównywanie wzrostu dwóch funkcji. Symbole o i O

28. Przybliżone rozwiązywanie równań

Ćwiczenia do rozdziału III

Rozdział IV. Szeregi liczbowei funkcyjne

1. Szereg liczbowy.

2. Warunek konieczny zbieżności

ii. Szereg geomi I

4. Szeregi o wyrazach nieujemnych.

o. Kryterium < anehyVgo

6. Kryterium d'Alemberta.

7. Uwagi ogólne

8. Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych

9. Działania na szeregach

10. Szereg przemienny

11. Zmiana porządku wyrazów szeregu

12. Mnożenie szeregów

13. Reszty szeregu.

14. Szereg funkcyjny i ciąg funkcyjny

15. Zbieżność jednostajna

16. Kryteria zbieżności jednostajnej

17. Uogólnienie twierdzeń poprzednich.

18. Różniczkowanie szeregu

19. Szeregi potęgowe.

20. Szereg pochodny

21. Szereg Taylora

22. Przykłady'

23. Równość dwóch szeregów potęgowych

24. Działania na szeregach potęgowych.

25. Twierdzenie Ahela

26. Sumowalność szeregów rozbieżnych.

Ćwiczenia do rozdziału IV.

Rozdział V. Pochodne funkcji wielu zmiennych

1. Pochodne cząstkowe funkcji liczbowych dwu zmiennych

2. Interpretacja geometryczna

3. Pochodne kierunkowe.

4. Pochodna zupełna i gradient funkcji

5! Pochodne cząstkowe rzędu drugiego

6. Pochodne wyższych rzędów

7. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej

8. Wzór Taylora dla funkcji dwu zmiennych

9. Uogólnienie na funkcje n zmiennych

10. Funkcje jednorodne

11. Formy kwadratowo

12. Pochodne cząstkowe wyżizych rzędów i wzór Tay]

13. Maksima i minima

14. Funkcje uwikłane

15. Ekstrema funkcji uwikłanej

16. Funkcja uwikłana wielu zmiennych.

17. Odwzorowania wielowymiarowe. Jakobian

18. Linie i rozciągłości wielowymiarowe.

19. Układ funkcji uwikłanych.

80. Odwzorowania odwrotne i złożone

21. Maksima i minima warunkowi:.

22. Twierdzenie Borela o pokryciu.

2'A. Pewni nierówności

Ćwiczenia do rozdziału V

Rozdział VI. Uzupełnienia

1. Interpolacja. Wzór Lagrange'a

2. Wzór interpolacyjny NeAvtona.

3. Różnice funkcji.

4. Wzór Newtona przy równych odstępach

5. Ciągi i szeregi funkcyjne wielu zmiennych.

G. Szereg Taylora dla funkcji dwu zmiennych

7. Rozwartość trójkątowa zbioru

8. Funkcje równociągłe i rodziny zwarte.

9. Ciągi i szeregi liczbowe podwójne.

10. Szeregi potęgowe, podwójne

11. Ciągi i szeregi ?i-krotne.

12. Iloczyny nieskończone

13. Zbiory liniowe unormowane. Przestrzec Banacha

14. Przekształcenia liniowe

15. Przekształcenia i formy wieloliniowe

In Przestrzeń operacji i uwagi ogólne

Ćwiczenia do rozdziału VI

Rozdział VII. Zastosowania geometryczne i fizyczne pochodnych

1. Krzywa o równaniu y = y(x)

2. Krzywizna krzywej.

3. Asymptoty.

4. Krzywa o równaniach x = x(t), y = y(t)

5. Przykłady.

6. Krzywa o równaniu biegunowym r = r(tp)

7. Krzywa o równaniu uwikłanym F(x,y) = 0

8. Punkty osobliwe krzywej F{x,y)=0

9. Styczność krzywych.

10. Obwiednią rodziny krzywych.

11. Krzywe przestrzenne

12. Trójścian Freneta

13. Krzywizna krzywej przestrzennej.

14. Skręcenie krzywej

15. Powierzchnia o równaniu JF(x, y, z) = 0 16*. Powierzchnia określona parametrycznie 17. Krzywizna powierzchni

18. Pole wektorowe. Gradient i potencjał

19. Dywergencja i rotacja

20. Operatory: nabla i laplasjan.

21. Pole wektorowe płaskie.

Ćwiczenia do rozdziału VII

Część druga RACHUNEK CAŁKOWY

Rozdział VIII. Całki nieoznaczone

1. Funkcja pierwotna

2. Wzory podstawowe.

3. Całkowanie sumy i iloczynu.

4. Związek całki z polem

6. Całkowanie przez części.

6. Całkowanie przez podstawienie

7. Wzory rekurencyjne.

8. Przykłady.

9. Trudności obliczania całek

10. Całkowanie funkcji wymiernych

11. Całkowanie funkcji niewymiernych

12. Całki eliptyczne i hipereliptyczne.

13. Całkowanie funkcji trygonometrycznych

14. Całkowanie kilku innych klas funkcji

Ćwiczenia do rozdziału VIII.

Rozdział IX. Całki oznaczone pojedyncze

1. Sumy przybliżone

2. Całka oznaczona Riemanna

3. Całka górna i całka dolna

4. Twierdzenia o całkowalności.

5. Wnioski ogólne.

6. Całka sumy i iloczynu

7. Miara Jordana zbioru

8. Interpretacja geometryczna całki.

9. Własności całek oznaczonych

10. Granico całkowania

11. Całka jako funkcja granicy całkowania.

12. Związek między całką oznaczoną i całką nieoznaczoną

13. Przekształcanie całek oznaczonych

1 ł. Twierdzenia o wartości średniej dla całek

15. Całki niewłaściwe.

IG. Kryteria zbieżności całki niewłaściwej

17. Całka Dirichleta.

18. Kryterium całkowe zbieżności szeregów.

lit. Całkowanie szeregu

20. Całkowanie przez rozwinięcie w 6zereg

21. Całkowanie przybliżone

Ćwiczenia do rozdziału IX.

Rozdział X. Zastosowanie całek. Szeregi trygonometryczne

1. Zastosowanie całek do obliczania pól

2. Długość krzywej. Krzywe gładkie

3. Funkcje o zmienności ograniczonej.

4. Parametr kanoniczny krzywej

5. Wzory Freneta

6. Znak skręcenia krzywej

7. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej.

8. Funkcja określona za pomocą całki właściwej

9. Funkcja określona za pomocą całki niewłaściwej.

10. Funkcja gamma Eulera

11. Wzór Stirlinga

12. Szeregi trygonometryczne

13. Szereg Fouriera

14. Analiza harmoniczna

15. Zbieżność szeregu Fouriera.

16. Interpolacja trygonometryczna.

17. Twierdzenie Fejśra

18. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa

19. Całka Fouriera

20. Szeregi ortogonalne

21. Układy ortogonalne z wagą. Wielomiany Czebyazewa, Hermite'a i Laguerre'a

22. Przestrzeń funkcyjna F i przestrzeń B°°.

23. Całka jako funkcjonał.

Ćwiczenia do rozdziału X.

Rozdział XI. Całki podwójne i wielokrotne

1. Całka podwójna w prostokącie.

2. Całka górna i całka dolna.

3. Twierdzenia o całkowalności

4. Interpretacja geometryczna całki

5. Całki iterowane

6. Zamiana całki podwójnej na iterowaną.

7. Całka podwójna w zbiorze dowolnym

8. Całka podwójna w obszarze regularnym.

9. Obszar normalny.

10. Zastosowanie całki podwójnej do obliczania objętości.

11. Pole płata powierzchniowego

12. Powierzchnie jednostronne.

13. Całka potrójna

14. Całka potrójna w obszarze regularnym.

15. Całka n-krotna

16. Przekształcenia ciągłe na płaszczyźnie

17. Przekształcenia ciągłe w przestrzeni.

18. Homeomorfizm

19. Przekształcenie osiowe.

20. Złożenie przekształceń.

21. Zmiana zmiennych w całce wielokrotnej.

22. Całki wielokrotne niewłaściwe

23. Funkcja określona za pomocą całki wielokrotnej.

24. Zastosowania do zagadnień fizyki

25. Reguły Guldina

26. Potencjał newtonowski i potencjał logarytmiczny

Ćwiczenia do rozdziału XI.

Rozdział XII. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe

1. Łuki i krzywe gładkie.

2. Całka krzywoliniowa

3. Zamiana całki krzywoliniowej na całkę zwykłą

4. Całka krzywoliniowa niezorientowana

5. Uogólnienie. Całka Riemanna-Stieltjeea.

6. Krzywe zamknięte. Obszary jednospójne i wielospójne na płaszczyźnie

7. Twierdzenie Greena

8. Zastosowanie do obliczania pól. Planimetry.

9. Zastosowanie do przekształcenia całki podwójnej.

10. Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania na płaszczyźnie

11. Uogólnienie na całki krzywoliniowe w przestrzeni B3.

12. Całka różniczki zupełnej

13. Interpretacja wektorowa

14. Całka powierzchniowa.

15. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

16. Twierdzenie Stokesa

Ćwiczenia do rozdziału XII

Rozdział XIII. Całka Lebesgue'a

1. Uwagi wstępne

2. Ciała zbiorów. Zbiory Borela

3. Miara zbioru.

4. Miara Lebesgue'a zbioru liniowego.

5. Twierdzenia pomocnicze

6. Twierdzenia podstawowe

7. Funkcje mierzalne

8. Funkcje Baire'a

9. Całka Lebesgue'a w przedziale.

10. Uwagi o definicji całek Riemanna i Lebesguo'a

11. Całka Lebesgue'a w zbiorze mierzalnym.

12. Własności całki Lebeague'a.

13. Całka funkcji nieograniczonej

14. Całka w przedziale nieograniczonym

15. Całka nieoznaczona Lebesgue'a

16. Całka Lebe8gue'a-Stieltjesa-Radona.

Ćwiczenia do rozdziału XIII

Rozdział XIV. Równania różniczkowe

1. Równanie różniczkowe zwyczajne

2. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych

3. Równanie różniczkowe rodziny krzywych

4. Interpretacja geometryczna całkowania równań

5. Warunek istnienia i jednoznaczności rozwiązania.

6. Równania różniczkowe równoważne.

7. Całka ogólna równania różniczkowego

8. Równanie o zmiennyoh rozdzielonych

9. Całkowanie równania metodą podstawienia

10. Równanie różniczkowe jednorodne

11. Zastosowanie. Trajektorie rodziny krzywych.

12. Równanie różniczkowe liniowe.

13. Równanie Bernoulliego

14. Równanie Riccatiego

15. Równanie różniczkowe zupełne.

16. Czynnik całkujący

17. Całka pierwsza równania różniczkowego.

18. Punkty osobliwe równania różniczkowego

19. Równanie Clairauta. Całka osobliwa

20. Układy równań różniczkowych.

21. Warunek Lipschitza

22. Dowód istnienia całki równań różniczkowych

23. Zastosowanie do równań wyższych rzędów

24. Proste typy równań różniczkowych rzędu drugiego

25. Zastosowanie do ruchu wahadłowego

26. Całkowanie przez szeregi potęgowe.

27. Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego

28. Równania jednorodne specjalne.

29. Równanie liniowe niejednorodne rzędu drugiego.

30. Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach

31. Zastosowanie do ruchu drgającego.

32. Zagadnienie brzegowe. Wartości własne i funkcje własne.

33. Równania różniczkowe sprzężone

34. Równania różniczkowe cząstkowe

36. Uwagi o całkach równań różniczkowych cząstkowych.

36. O trzech typach równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego

37. Uwagi ogólne o równaniach rzędu drugiego.

Ćwiczenia do rozdziału XIV

Dodatek. Ogólne twierdzenie Stokeaa

1. Wstęp.

2. Formy różniczkowe zewnętrzne

3. Pojęcia pomocnicze z topologii

4. Twierdzenie StokeBa.

5. Dwa twierdzenia Greena

6. Wzory Greena

Bibliografia.

Skorowidz nazw.

Liczba stron: 530